Диагноз

Ян Крохин

1. Введение

Эксплуатация изделий приборостроительных отраслей промышленности зашла в тупик. Об этом свидетельствуют многочисленные аварии и катастрофы (АиК) во всех сферах применения изделий: на земле, в воздухе, на воде, под водой и даже в космосе.

Дорожные происшествия традиционно относят к вине водителей.

Смерти на складах старого оружейного хлама происходят, как считается, не по законам физики, а по разным второстепенным причинам: то солдатский окурок, то сухая трава, то летняя жара.

При всех падениях самолетов создаются комиссии, которые исследуют обломки самолетов и находят (а чаще не находят) какую-либо техническую неисправность.

Паром «Эстония» утонул потому, что открылся затвор носового люка.

В подводной лодке «Курск» взорвалась собственная торпеда.

Шатл «Колумбия» сгорел при возвращении на землю потому, что ранее отвалилась какая-то пластина термоизоляции.

Каковы же общие причины кризиса нашей культуры промышленного производства? При выпуске любое изделие проверяется. Эта проверка называется операцией контроль. Контроль оформился в середине прошлого века как всеобщий контроль качества – научный метод, применявшийся в различных областях. Доктор А. Фейгенбаум [1] провозгласил принцип всеобщего контроля качества, который «заключается в том, что такой контроль должен начинаться с разработки изделия и заканчиваться тогда, когда оно поступает в руки потребителя». Начинаясь с этапа разработки, контроль заканчивался проверкой готового изделия и способствовал его продаже потребителю. У потребителя проходит этап эксплуатации.

Эксплуатация требует каких-то методов для проведения ремонтно-профилактических работ с целью устранения (а лучше – предотвращения) возникающих отказов. Такие методы созданы не были. Воспользовались тем, что подвернулось, – контролем. Появились околоэксплуатационные науки, например, теория надежности, которая исследует статистику отказов вместо их устранения.

Контроль работает на двухотсчетной шкале, иными словами, выполняет сортировку [2] изделий на две градации - «годен» - «брак». Параметры изделия проверяются на соответствие их полям допусков. Если значение параметра лежит в поле допуска, то он «годен». При годности всех параметров изделия оно тоже «годен», иначе – «брак». Таким образом, проверка ракеты, включающей сто параметров, это проверка ста отдельных параметров, а контроль самолета, включающего тысячи параметров, это проверка тысяч отдельных параметров.

Поля допусков параметров – слабое требование при проверке изделия в целом. Оно показывает неизменное «годен» готовых, только что изготовленных изделий, когда все параметры настроены по номиналу, в исходном состоянии. В этих условиях оно может обнаружить небрежную настройку одного из параметров. Слабое требование – это поля допусков приемо-сдаточных испытаний [2].

Но в эксплуатации «брак» изделия определяется реальными полями допусков, различными их сочетаниями. Число таких сочетаний – единица со многими нулями, и просмотреть их все невозможно. Параметры «уходят» по-разному, один больше, другой меньше, но все сразу. Условие „все параметры – в исходном состоянии, один – «брак»” в реальности не встречается. Зато «значения всех параметров сдвинулись относительно исходного, но каждый – еще в поле допуска» – сколько угодно. Все эти сочетания имеют более узкие, более жесткие поля допусков, чем при контроле. За пределами таких полей допусков изделие является браком, который не обнаруживается слабым требованием. Таким образом, контроль с его полями допусков не гарантирует исправность изделия, когда значения всех параметров «годен». Это и может явиться причиной АиК: правила контроля, следовательно, являются легальным разрешением на «брак» изделия, заложенным в его техническую документацию.

Изложен новый подход к применению изделий. Применение, по крайней мере, техники, рассматривается состоящим из двух фаз: активной и ремонтно-профилактической. Первая обеспечивает полное отсутствие отказов изделий. Вторая устраняет возможные отказы до их возникновения. Безотказные изделия сохраняют исправность в течение всего применения, до утилизации исправного изделия, которая наступает по экономическим соображениям: затраты на дальнейшее применение изделия сравниваются со стоимостью предстоящих ремонтно-профилактических работ.

Ремонтно-профилактическим работам при контроле предшествует большая работа по проверке параметров и локализации возможных или реальных неисправностей. Эта работа столь трудоемка, что выполняется редко: на приемо-сдаточных испытаниях, при капитальном ремонте, иногда – при периодических проверках. При ежедневных, ежемесячных и т.д. проверках применяют сокращенный перечень параметров. Но даже полный перечень параметров при слабом требовании контроля не гарантирует исправности изделия.

Новый подход в корне меняет ситуацию: диагностика сразу всех параметров производится перед каждыми ремонтно-профилактическими работами. Определяется состояние всех параметров – так называемый ИФР-портрет изделия (ИФР [3] – интегральная функция распределения, например, параметра). Если изделие исправно, ИФР-портрет покажет сохранение исходного состояния. Если значение хотя бы одного параметра изделия заметно изменилось относительно исходного состояния, ИФР-портрет отметит это, а ИФР–спектр укажет этот параметр для проведения ремонтно-профилактических работ. Ремонтно-профилактические работы вернут значение параметра на место. Таким образом, задача сводится к непрерывному или периодическому поддержанию изделия в исходном состоянии, что делает излишним слабое требование с его недопустимо широкими полями допусков параметров.

Значения параметров изменяются сравнительно медленно, благодаря чему на один ремонт или профилактику выпадает один - два, во всяком случае, малое число параметров. Такое применение изделия требует минимума регулировок и запчастей для ремонта и позволяет отказаться от назначенного ресурса [2].

Параметры изделия взаимозависимы, поэтому все модели (кроме однопараметрических) ограничены проклятием размерности. Параметрические модели, как и интуиция, способны лишь помочь конструктору при функциональном проектировании изделия. В то же время погрешности параметров (ИФР ПП) статистически независимы и используются для построения моделей «ухода» параметров от исходного состояния.

Просматривается дальнейшее развитие нового подхода на медицинскую и гуманитарную диагностики. Дело в том, что техническая диагностика – новый подход – всегда предусматривает метрологические измерения каждого параметра. Измерения параметров лежат в основе любой диагностики. В случае медицинской диагностики параметры измеряются двояко, приборами и человеком. В случае гуманитарной диагностики параметры измеряются человеком.

По различным отраслям науки возможны специализированные диагностические подходы.

2. Техническая диагностика

Диагноз – определение начального состояния объекта диагностики или отклонения от него на основе стандартных (рутинных) операций с помощью средств вычислительной техники. Компьютер, как и объект диагностики, - обязательный участник процесса.

Применение не требует определять начальное состояние объекта, ибо оно известно заранее, еще со времени изготовления. Поэтому используют не ИФР параметров, а ИФР ПП (погрешностей параметров).

Контроль – внебрачный сын метрологии – увел ее куда-то вбок. Всю жизнь метрологи занимались «единством измерений», которое записано во всех стандартах по метрологии, но так и не было достигнуто в проверках сложных изделий. Причина – неоправданно высокие погрешности, возрастающие с ростом числа параметров [4]. Поэтому классификация на принципах метрологии – это сортировка [2], которая означает невозростание точности с ростом числа параметров.

Как оказалось, точность диагноза возрастает. Достаточно обычного измерения многих параметров, чтобы получить огромную точность диагностики, не достижимую на метрологических принципах даже при использовании прецизионных приборов.

Похоже, что диагностическая точность сродни точности цифровых представлений. Например, полтора десятка цифр в номере телефона позволяют соединение с любым телефоном планеты. 15 параметров – это простое изделие, вроде транзистора. В основе раздельного восприятия параметров лежит представление о точности. Параметр (или цифру) «окружают» две погрешности: максимального и минимального отсчета, которые позволяют уверенно отделять (классифицировать) этот параметр от двух соседних. Это дает точность. Точность диагноза равна произведению точностей параметров. Для тысяч параметров самолета диагностическая точность, по-видимому, недостижима, да и не требуется.

Диагностика базируется на диагностической взаимозависимости между ИФР ПП. Диагностическая взаимозависимость объясняется так.

Диагноз – это еще и измерение. Метрология определяет результат измерения – число, имеющее размерность и погрешность. Диагноз – это состояние объекта, не имеющее метрологической размерности: какова размерность результата измерения тысяч параметров? Каждый параметр представлен универсальной статистической характеристикой – ИФР ПП. Диагноз – это точно и однозначно вычисляемая характеристика ИФР ПП всех параметров. Математические ожидания ИФР ПП и есть ИФР-спектр.

Погрешности любого измерения всегда лежат между экстремальными, максимальным и минимальным, отсчетами. Диагностическая взаимозависимость приводит к определенным распределениям экстремальных отсчетов диагноза.

На рис. 1 показано упрощенное (на примере трех параметров) графическое объяснение формирования распределения экстремальных отсчетов – исходного состояния объекта.

ИФР погрешностей трех параметров указаны сплошными линиями. Распределение погрешностей первого параметра (нормальное со стандартным отклонением 1) указано наиболее крутой из этих трех линий.

Распределения погрешностей второго и третьего параметров (нормальные со стандартными отклонениями соответственно 2 и 3) представлены остальными двумя сплошными линиями.

Штриховой линией показано произведение этих трех ИФР. Произведение является ИФР результата по этим трем параметрам. При этом учтен не всегда замечаемый факт: произведение любого числа ИФР есть ИФР [3]. Это произведение служит ИФР наибольших отсчетов.

ИФР наименьших отсчетов (на рисунке не указана) строится аналогично по распределениям, являющимся арифметическим дополнением [5] исходных и оказывается симметричной [6] ИФР наибольших отсчетов. Симметрия - относительно оси ординат.

Штрихпунктирной линией дана ИФР экстремальных отсчетов. Ее положительная ветвь строится как половина ИФР наибольших отсчетов, «посаженной» на линию со значением вероятности 0,5. Отрицательная ветвь повернута относительно центра симметрии [6].

Масштаб штрихпунктирной линии при пересечении оси ординат увеличен, чтобы показать, что линия в точке пересечения имеет нулевую производную.

Итоговое, бимодальное распределение приближается к дискретному [3], раздвигаясь по мере роста числа параметров n. Интервал между модами («пиками») пропорционален мере оси абсцисс, например, стандартному отклонению σ, т.е. случайным погрешностям исходных распределений, а также зависит от математических ожиданий исходных распределений. Эти зависимости лежат в основе точности диагноза.

Термин «бимодальное распределение» относится ко второй форме представления распределения – к плотности вероятности [3]. Бимодальное распределение демонстрирует, что нулевые значения отсчетов результата крайне редки. В многомерной (n-мерной) функции распределения [3] произведения ИФР ПП погрешности сосредотачиваются на периферии одномерного бимодального распределения.

Студентов технических специальностей на первой же лабораторной работе по физике учат тому, что измерения без погрешностей не бывают. Результат измерения так и представляется, с погрешностью ± сколько-то единиц. Это правда, но не вся.

Как известно, погрешность измерения состоит из систематической и случайной погрешностей. Собственно, погрешностью, как учат студентов, является случайная погрешность. Систематическая обнаруживается и компенсируется (учитывается) и в дальнейших измерениях отсутствует. На этом нехитром правиле построена метрология. В его основе лежит представление о законе распределения погрешностей. Погрешность каждого измерения проявляется при разовом обращении к этому закону. Повысить точность измерения возможно лишь при его многократном повторении, либо применением более точных приборов. Это очевидное, с точки зрения здравого смысла, правило никем и никогда не проверялось. А зря.

При однократных измерениях все обстоит именно так. При косвенных [7] или многократных измерениях включается скрытый механизм, присутствующий в любом законе распределения погрешностей. Этот механизм формирует двумодальное распределение, состоящее из двух: распределения максимальных отсчетов и распределения минимальных отсчетов. С ростом кратности измерений расстояние между модами закономерно увеличивается, а «пики» становятся все более узкими и высокими. Половина расстояния является систематической погрешностью максимальных отсчетов, а разброс максимальных отсчетов относительно матожидания – случайной погрешностью. Похожие соотношения – для «пика» минимумов. Так повышается точность измерения. Сегодня не исследован предел точности. Вполне может оказаться, что точность диагноза выше точности парижского эталона метра. Виртуальные измерения [8] позволяют достигать точности по единственному реальному измерению, число параметров которого n практически не ограничено. Но по всем n параметрам должны быть известны законы распределения погрешностей.

Точность диагноза будет зависеть от разрядности аналого-цифровых преобразователей, стоящих между параметрами и компьютером, поэтому правило округления [4] к этой разрядности не применяют.

Виртуальное измерение – моделирование измерений для получения одномерного распределения случайных погрешностей измерения. Это – измерение, которое состоит в том, что вокруг одноразово измеренного действительного [7] значения отсчета моделируются погрешности, которые получают от генератора случайных чисел, распределенных по закону погрешностей измерения отсчета.

Параметры представлены своими ИФР ПП. Это значит, что в ИФР погрешностей результата (ИФР ПР) учитываются все возможные значения погрешностей, каждая со своей вероятностью осуществления. Поэтому диагноз как результат характеризуют не случайные погрешности параметров, а их математические ожидания. Соответственно, при необходимости, ИФР ПР представлена своим математическим ожиданием.

Исходные распределения на рис. 1 проходят через точку с координатами (0; 0.5). Физически это означает, будто в параметрах (датчиках) учтена до нуля систематическая погрешность. Это и будет нулевым диагнозом исходного состояния, симметричным бимодальным распределением, сдвиг математического ожидания «пиков» которого пропорционален стандартному отклонению σ одной из ИФР ПП. Таким образом, нулевой диагноз определяется только метрологией датчиков, а с учетом дальнейшего – только числом параметров. Практически на стартовый диагноз влияют неточности начальной настройки исходного состояния параметров.

Некоторые представления о характере диагностической зависимости дает рис. 2, являющийся копией иллюстрации из [9]. Левая кривая при кратности обращения к распределению k=1 (n=1) есть нормальная ИФР. Сплошные кривые с положительной производной являются такими же ИФР k параметров. При k-кратном обращении к распределению наибольших отсчетов ИФР сдвигаются вправо, а их крутизна растет (стандартное отклонение уменьшается). ИФР наименьших отсчетов связаны с ИФР наибольших отсчетов осевой симметрией [6] (на рис. 2 не приведены).

Рис.2. Нормальная ИФР при k-кратном обращении к ней.

Возможно аналитическое определение ИФР ПР начального состояния – возведением в степень n ИФР ПП; для разных исходных распределений диагноз определяется компьютерными вычислениями, повторяющими преобразования рис. 1. Для этого с помощью виртуальных измерений моделируются ИФР ПП и вычисляется по точкам ИФР ПР. Ее математическое ожидание и будет характеризовать исходное состояние объекта.

При вычислении диагноза моделируют ИФР ПП в точках реальных отсчетов, т. е. действительных значений, не обращая внимания на погрешности датчиков. Матожидание ИФР ПР, после «фильтра» многих параметров, останется стабильным. Таким образом, ИФР-портрет – единственная точка. Она может рассматриваться как синтез диагноза. Для анализа диагноза – ИФР-спектра вводится операция деления ИФР на другую ИФР. В качестве делимого выбирается ИФР-портрет (число) p параметров (р ≤ n). В качестве делителя – ИФР ПР, то есть функция, числа (р–1) параметров. Частное – ИФР ПП параметра №(р–1). По-видимому, оно будет лишено погрешностей датчика, и его матожидание покажет истинное [7] значение параметра.

Получен главный итог: диагностика работает на шкалах истинных значений. Случайные погрешности параметров и результата устраняются. Диагноз обладает свойством полной определенности (детерминизма). Точность тем выше, чем больше число параметров.

Общая схема такая. В точной ИФР результата отбрасывают случайные погрешности, а математическое ожидание применяют в качестве делимого. Находят ИФР-спектр. По нескольким выборочным значениям из каждой ИФР ПП находят их матожидания, распределения которых используют как новые (уточненные) ИФР ПП и ИФР ПР. (Находить матожидания интегрированием ИФР ПП нельзя!). Предел точности не исследован.

Следует уточнить и переопределить сказанное.

Уделом метрологии являются одиночные измерения с их однопараметрической точностью. При попытках увеличения числа параметров, например, в косвенных измерениях [4], точность остается прежней, а погрешность измерения растет. Метрология, таким образом, порождает неопределенность. Из-за этого требуется корректировка наук, использующих метрологические измерения, например, математической статистики. Одним из видов неопределенности являются «наблюдения» - якобы результаты измерений, но без погрешностей. К ним не применимо понятие «точность».

Математической задачей диагноза является классификация – разделение множества на непересекающиеся классы [5]. Количество классов и есть точность диагноза. Диагноз является физической реализацией классификации. Точность следует из учета всех параметров сразу. Рождаются новые свойства, например, детерминизм. Случайные погрешности определяют меру оси абсцисс. Индицируется отклонение каждого параметра от исходного состояния.

ИФР ПП допускают создание сложных моделей. Однако, в технической диагностике это, по-видимому, не требуется. Поведение объекта полностью описывается результатом. Вся информация об этом поведении содержится в параметрах. Экстраполирование параметров на определенное время прогноза опишет будущее объекта. Повторная экстраполяция дает дальнейший прогноз без накопления статистических погрешностей прогноза. Прогнозный диагноз обеспечивает своевременное проведение ремонтно-профилактических работ.

В математике много понятий, связанных отношением простого и более сложного: скаляр и вектор, число и интеграл, число и матрица. Первоначально диагностика воспринималась как любопытное измерение. Со временем метрологический туман рассеялся. Хотя метрология (по самоопределению) «наука об измерениях» [7], она оперирует числами. Диагностика, по-видимому, требует матричного исчисления.

Диагноз – это матрица со столбцами: исходного состояния, начальной настройки, безопасных (осторожных) допусков параметров, 2-3 текущих диагнозов (состояний параметров), расходов на ремонтно-профилактические работы, прогнозных значений параметров (для разных времен прогноза), очередных сроков поставки запчастей.

Очевидно, необходимы датчики, по возможности – всех параметров, достаточно простые, кратковременно стабильные по случайным погрешностям и матожиданию.

Диагностика работает по схеме «много параметров – один результат». Часть характеристик одиночного диагноза определяется объектом. Другая часть – общая для нескольких диагнозов и может быть использована для сравнения. Например, можно сравнивать «метрологию» однотипных изделий разных фирм. Характеристики не могут быть произвольными: на их значения накладываются определенные ограничения.

Такая диагностика потребует корректировки стандартов - вроде международных правил сертификации самолетов, инспекций МАГАТЭ для АЭС, стандартов ISO серии 9000 по «качеству».

Качество понимается как свойство изделия вечно сохранять работоспособное состояние за счет способа эксплуатации: как бриллиант в оправе, а не сам по себе.

Суммарная стоимость расходов определит единственное за время применения изделия решение – о прекращении эксплуатации изделия.

Вероятно книги под таким же названием [10,11] являются лишь плохой инструкцией по поиску отдельных неисправностей.

3. Медицинская диагностика

Мы, люди, ментально все различны. Но физиологически все одинаковы. «В пересчете на среднестатистический самолет» в молодости мы летаем, а к старости порой не годимся даже для утилизации, но еще ползаем. Нас лечат примерно так же, как сегодня проверяют самолеты: отдельно по параметрам (врачи – узкие специалисты по уху, сердцу и прочим легким). А надо лечить человека, а не отдельные органы, всего сразу, сразу все n параметров (болезней), так же, как надо диагностировать самолеты. Необходим один мегаанализ, компьютерный диагноз на уровне консилиума – и лечение.

Природа создала людей как человеческую цивилизацию. Человечество создало техническую цивилизацию «по своему образу и подобию». Надо ли удивляться, что они так похожи. На этой основе может быть высказано предположение, что каждая болезнь однозначно связана с сочетанием объективных показателей - значениями анализов, анамнезов и пр. - параметров. Исходное состояние – это состояние полного здоровья. Диагноз покажет все отклонения от него. К сожалению, цели ремонтно-профилактических работ и схем лечения отличаются, поэтому старость без болезней нам не грозит.

Не существует способов количественного измерения конкретной болезни. Но ей может быть сопоставлен числовой показатель, характеризующий текущее состояние болезни. Числовые показатели могут быть связаны с текущими параметрами системой уравнений, например, линейных. Т.о. диагностируется ИФР – портрет параметров, который определит ИФР – спектр, а по нему - все болезни пациента. Это и будет реальным диагнозом. Он значительно расширится при увеличении количества параметров. Например, китайские врачи диагностируют состояние больного по пульсу, фактически – по работе сердца. Вероятно, в пульсе можно различить больше параметров, чем содержится в кардиограмме.

Принятие решений – один из видов неопределенности. Полная определенность диагноза, вероятно, снимет большинство проблем.

ИФР ПП статистически независимы. Но болезни реального диагноза взаимозависимы, ибо определяются несколькими числовыми показателями каждая. Это является ценным свойством медицинской диагностики.

Отличие медицинской диагностики от технической в том, что объект диагноза изменяется под воздействием лечения. Это сузит возможности прогнозного диагноза, но упростит оценку последствий, т.к. после лечения работает прогноз.

Очевидно, будет наблюдаться тенденция всемирной стандартизации диагнозов.

4. Гуманитарная диагностика

Гуманитарная истина измеряется с помощью человека: судейской коллегии по танцам на льду, врача, избирательной комиссии и т.д. Истина тоже задается ИФР, которая отображает погрешности оценок выступления фигуристов, ошибки врача или голосования. Известно, как выглядит ИФР - портрет, если есть договоренность относительно определения истины и как изменится вид ИФР ПР, если договоренности кем-то нарушаются из-за низкой квалификации или умышленно: она перестает быть симметричной, двумодальность плотности вероятности переходит в полимодальность.

Детерминизм при гуманитарной диагностике тоже означает избавление от погрешностей измерений. Можно ожидать одинаковых результатов для группы диагнозов однотипных объектов при едином перечне параметров, например, при голосовании.

Так, на прошлых президентских выборах в США возникла задержка признания их итогов из-за незначительных ошибок, допущенных при подсчете голосов во Флориде. Не исключены такие ошибки и в будущем.

Ошибок можно избежать, применяя операцию деления ИФР на ИФР. Диагноз голосования за того или иного кандидата очистит результат – итог голосования - от погрешностей параметров. ИФР – портрет определится числом избирателей и какой-нибудь приемлемой ИФР погрешностей избирателя и комиссий (любой, потому что погрешности фильтруются). Делитель – ИФР числа голосов за одного из кандидатов. Матожидание ИФР частного и есть это число.

Детерминизм диагноза делает нахождение ИФР – портрета задачей с известным ответом. На первый план выходит постановка диагностической задачи. Таких задач великое множество, от диагноза списка святых до политической диагностики. Инверсная диагностика реализует усилитель мышления на основе селекции оптимального диагноза.

5. Заключение

Найден способ однообразной компьютерной обработки технической, медицинской, гуманитарной и другой информации.

Контроль проверяет изделия. Метрология могла бы измерять их параметры. Диагностика диагностирует состояния изделий, поддерживая их вечную работоспособность. Сегодня, по-видимому, нет иного способа устранения АиК.

Название статьи – еще и определение болезни продукции, а также схема ее лечения.

Точность диагностики найдет применение во многих отраслях науки, техники, в медицине и гуманитарной сфере, в первую очередь – для устранения АиК и продления среднего срока жизни.

Математика средствами численных методов [12] создает фильтры путем расстановки параметров по времени, фильтры с необычными частотными характеристиками. Диагностика, похоже, продолжает эту традицию, создавая безынерционные фильтры низких частот для сглаживания случайных погрешностей.

Работа проводится в рамках фактометрии [13] – приемов и способов оценки качества изделий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фейгенбаум А. Контроль качества продукции. – М.: Экономика, 1986. – 472 с.

2. Качество продукции, испытания, сертификация. Терминология: Справочное пособие. – Вып. 4. – М.: Издательство стандартов, 1989. – 144 с.

3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. – М.: Сов. Радио, 1966. – 728 с.

4. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. – М.: Мир, 1985. – 272 c.

5. Каазик Ю.Я. Математический словарь. – Таллин: Валгус, 1985. – 296 с.

6. Микиша А.М., Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины. – М.: Рус. яз., 1989. – 244 с.

7. ДСТУ 2681-94. Метрологія. Терміни та визначення. Чинний з 01.01.1995.

8. Крохін Я.О. Вимірювання якості //Зб. Системи підтримки прийняття рішень. Теорія і практика. – Київ: 2006.

9. Крохин Я.А. Производственный параметрический контроль. - Деп. в НИИЭИР //Сб. «Реф. инф. по радиоэлектронике». – 1970. - № 24. – Реф. 23237.

10. Мозгалевский А.В., Гаскаров Д.В. Техническая диагностика. – М.: Высшая школа, 1975. – 207 с.

11. Биргер И.А. Техническая диагностика. – М.: Машиностроение, 1978. – 240 с.

12. Хемминг Р.В. Численные методы. – М.: Наука, 1972. – 400 с.

13. Крохин Я.А. Фактометрия. Техногенные катастрофы между прошлым и будущим. – Киев: Логос, 2004. – 92 с.