Многомерная теория вероятностей

Многомерная теория вероятностей

Ян Крохин

В предыдущей работе [1] с позиций метрологии [2] обсуждались  диагностические перспективы [3], пока гипотетические, технических, естественных и гуманитарных наук. Гипотеза утверждает точные измерения, без погрешностей (!), и, например, создание средств ординарных измерений произвольно регулируемой прецизионности. Но метрологические доказательства  используют не слишком корректное преобразование исходного параметрического доверительного интервала в дробный доверительный интервал результата [1].

  Как заметил Ганс Селье [4], иерархия науки строится по принципу лестницы: ординарный результат данной ступеньки служит теорией для соседней снизу. Теория метрологии базируется на началах теории вероятностей (см., например, [5]). Очевидно, замена метрологического обоснования теоретико-вероятностным не заменит проверку предположения, но увеличит степень доверия к гипотезе.  

Сначала можно вспомнить простые определения. Точность – степень истинного соответствия… (С.И.Ожегов). Точные науки – науки, основанные на математических методах (там же). Точка – основное понятие геометрии – место пересечения двух прямых, не имеющее измерения (там же).  

Начала теории вероятностей основаны на двух  равноправных определениях одномерного распределения непрерывной случайной величины:  интегральной функции распределения (ИФР) и ее производной – плотности вероятности [6].  Многомерность рассматривается как изучение совместных законов распределения произвольной конечной совокупности n случайных величин. По умолчанию предполагается, что время (момент наступления событий)  не учитывают. Из-за этого изучают только попарно зависимые и взаимно независимые события,  тогда как нелишне рассмотреть и законы распределения  событий, происходящих одновременно, все сразу – тотально зависимых событий.

Сразу – в один прием, очень быстро, немедленно, в тот же момент (С.И.Ожегов). Новые, отличные от прежних, законы распределения результата и параметров возникают при рассмотрении сразу всей совокупности n случайных величин, что соответствует принципу «все параметры – один результат» [7].

По крайней мере, n-мерная ИФР результата n взаимно независимых случайных величин равна произведению одномерных ИФР-сомножителей и сама является одномерной ИФР [3,7,8].  Вместе с тем, каждая точка ИФР результата содержит точки всех ИФР-сомножителей: в одномерную ИФР результата плотно «упакованы» n одномерных ИФР-сомножителей. «Упакованы» плотно, но им не тесно: точки безразмерны. «Упаковка» группирует их в новые, вторичные распределения – в n слегка отличных друг от друга плотностей вероятности параметров (случайных величин) φi               (i изменяется от 1 до n) .

Операция по «упаковке» n одномерных ИФР Fi   (обозначены прямыми символами) в единственную ИФР результата Sn  (обозначена курсивом)   названа средним вероятным [7]. Среднее вероятное является функцией от n (n≥2). Вторичное распределение – плотность вероятности   – может быть определено как производная ИФР результата

S(n-1)  = S1 •  S2 •…• S(i-1)•  S(i+1) •…• S(n-1) •  Sn  ,                             (1)

где все S – ИФР среднего вероятного S(n-1) .

Плотности вероятности φi равны корню степени (n-1) из производной ( S(n-1))’.Распределение φi можно приблизительно оценить по его моде [6] или достаточно близкой к ней точке, например, φi(0). При этом Si(0) ≈ 0.5, а мода (Si(0))’ = 0.3989 ≈ 0.4.

 

      φi(0) ≈ [(n-1)0.4(0.5)(n-2)](1/(n-1)) =2[0.4(n-1)] (1/(n-1))(2)

n ≥ 2.

 

Максимум вторичных распределений φi(0)  растет с ростом (текущего) числа параметров n:

      

n

2

3

5

9

17

33

65

129

257

513

1025

 φi(0)  

0.8

1.79

2.25

2.31

2.25

2.17

2.10

2.06

2.04

2.02

2.01

 

Соответственно уменьшается параметр распределения φi – корень квадратный из второго центрального момента σi – средняя квадратичная погрешность. Для сохранения площади распределения равной 1 с ростом n  σi асимптотически уменьшается в 5.5 ÷ 5  раз.

 Согласно (1) крутизна ИФР результатов S(n-1)  тоже растет с ростом числа параметров n [8], постоянно, но, по-видимому, не так стремительно. В первой 1000 параметров  φi(0) > 2, поэтому в схеме произведения [7] можно было бы ожидать большей крутизны результата Sn(0) , большей моды, если бы параметрические моды φi(0) перемножались. В действительности все вторичные распределения φi смещены (сдвинуты), каждый по своему в зависимости  от текущего значения n, относительно общего начала координат [7], так же, как и вторичные ИФР Si в распределении результата Sn.

Этот сдвиг вторичных ИФР – естественное следствие схемы произведения. Он не сказывается на значении среднего вероятного. Все сомножители произведения равноправны относительно ИФР результата. Метрологическая схема суммы [7] предполагает, что случайные погрешности одномерных распределений  целиком проявляются в погрешности результата [5]. В схеме произведения случайные отклонения исходных одномерных распределений параметров проявляются в погрешности результата после редукции в зависимости от n – текущего значения сомножителя ИФР результата. Редукция уменьшается от 0.4/2 = 0.2 для последнего, n-го параметра. Влияние исходных распределений плавно спадает по мере уменьшения текущего номера исходного распределения, практически до нуля – для первого.

N-мерное распределение снимает противоречие между распределением как групповой характеристикой случайной величины и однократным обращением к элементу ее исходной выборки. 

 Таковы свойства распределений n тотально зависимых случайных величин. Их применение грозит, вероятно, всем естественным наукам (по устаревшему определению – науки о природе в отличие от гуманитарных и технических наук [3]), даже медицине и, если писатели захотят,  — литературоведению.  

Писатели, наверно, подождут, а вот  катастрофы из-за дремучих стандартов метрологии [9, 10] следует немедленно прекратить. Для этого системы контроля (СК) [11], сегодня монопольно обслуживающие  изделия в эксплуатации, заменяют системами диагностики (СД) [12]. СК плохо ищет неисправности. СД точно поддерживает исходное состояние. На шкале состояния выполняется и классификация изделия, что дает невиданную точность, исключающую, в частности, пропуск брака по изделию в целом. Для техники точность выше норм, поэтому погрешности игнорируют, а не молятся им.  Изделия снабжаются простыми датчиками [13] параметров и такими же, практически без ограничения их числа, датчиками безопасности. Эксплуатация изделия из процесса, регламентируемого временем [12], становится сценарием, руководимым компонентами самого изделия, вечно исправного вплоть до списания по экономическим показателям [3].

 Существенно меняются взаимоотношения изделия с метрологией. Нет всесильного полицейского надсмотрщика. Благодаря редукции СД могут почти самостоятельно выполнять поверку [13] средств измерений, по сути – самоповерку. Математическое ожидание сигнала худшего, n-го датчика соизмеримо с точностью средств поверки. Поверка выполняется сразу для всего изделия, для исходного состояния, а не для каждого параметра отдельно, как это принято в СК.

 Обязана измениться и сама метрология, стандарты которой тормозят прогресс, ибо навязывают контроль. Стандарты, в том числе – международные, следует перевыпустить, а теоретическую базу метрологии доработать, учтя расширение теории вероятностей, изучающей n тотально зависимых случайных величин.

 Соответственно должны хоть частично измениться и многие (если не все) точные науки. Решается задача применения математических методов для «меры преступления» и «меры наказания» с точки зрения истины, а не «преступника» или «наказателя». Общий вывод – истина требует учета разумно  большого числа факторов.

Проверим?..

 

             Источники информации

 

1. Ян Крохин. Наука и техника в свете диагностики  — многомерной метрологии. www.krokhin.com 

2. ДСТУ 2681-94. Метрологія. Терміни та визначення. Чинний з 01.01.1995.

3.  Ян Крохин.  Диагноз. www.krokhin.com

4. Ганс Селье. На уровне целого организма. – М.: Наука, 1972.

5. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. – М.: Мир, 1985. – 272 c. 

6. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. – М.: Сов. Радио, 1966. – 728 с.

7. Я.А.Крохин, З.Я.Козаневич. Введение в диагностику. www.krokhin.com

8. Крохин Я.А. Производственный параметрический контроль. - Деп. в НИИЭИР // Сб. «Реф. инф. по радиоэлектронике». – 1970. - № 24. – Реф. 23237.

 9. Я.А.Крохин, З.Я.Козаневич. Контроль: мартышка с гранатой в пороховом погребе. www.krokhin.com

10.  Ян Крохин. Самолеты падают с неба, как спелые груши с дерева … А зря. www.krokhin.com

11.  Автоматическая аппаратура контроля /под ред. Н.Н.Пономарева. – М.: Сов. Радио, 1973. – 328 с.

12. Крохин Я.А. Безлимитный ресурс как реализация диагностической эксплуатации. www.krokhin.com

13. Юдин М.Ф., Селиванов М.Н., Тищенко О.Ф., Скороходов А.И. Основные термины в области метрологии. Словарь-справочник. – М.: Издательство стандартов, 1989. – 113 с.

 

январь 2009